El proceso de Ortogonalización Gram-Schmidt nos ayuda a una fácil construcción de un conjunto de vectores ortogonales, en este tema es de interés para la geométria analítica, álgebra lineal y calculo.
La formula para construirlos se da de manera inductiva, de la siguiente manera:
$$Sea\quad V\quad un\quad espacio\quad vectorial\quad con\quad producto\quad interno\quad \left< \quad ,\quad \right> \quad y\quad sean\quad \\ \beta _{ 1 },\beta _{ 2 },..,\beta _{ n }\quad vectores\quad l.i.\quad cualesquiera,\quad entonces\quad se\quad pueden\quad construir\quad \\ vectores\quad dados\quad por\quad { \alpha }_{ 1 }={ \beta }_{ 1 };\quad { \alpha }_{ n }={ \beta }_{ n }-\sum _{ k=1 }^{ n-1 }{ \frac { \left< { \beta }_{ n },{ \alpha }_{ k } \right> }{ { \left\| { \alpha }_{ k } \right\| }^{ 2 } } } { \alpha }_{ k }\quad tales\quad que\\ \left< \alpha _{ n },{ \alpha }_{ i } \right> =0\quad \forall i<n\quad es\quad decir\quad son\quad ortogonales.$$
La demostración se hará por inducción sobre n se usaran las propiedades de un producto interno cualesquiera, igual las propiedades de vectores de un espacio vectorial cualquiera. Y consideremos que $i,n\in\mathbb{N}$
DEMOSTRACIÓN
-BASE DE INDUCCIÓN
$n=2$ como $i<n$ nos dice que $i=1$ entonces veamos que:
$$\left< { a }_{ 1 },{ a }_{ 2 } \right> =\left< { b }_{ 2 }-\frac { \left< { b }_{ 1 },{ a }_{ 1 } \right> }{ { \left\| { a }_{ 1 } \right\| }^{ 2 } } { a }_{ 1 },{ a }_{ 1 } \right> =\left< { a }_{ 1 },{ b }_{ 2 } \right> -\frac { \left< { b }_{ 1 },{ a }_{ 1 } \right> }{ { \left\| { a }_{ 1 } \right\| }^{ 2 } } \left< { a }_{ 1 },{ a }_{ 1 } \right> =\left< { a }_{ 1 },{ b }_{ 2 } \right> -\left< { b }_{ 1 },{ a }_{ 1 } \right> =0$$ Entonces si se cumple para $n=2$
-HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN
Supongamos que $\left< { a }_{ n },{ a }_{ i } \right> =0$ con $i<n$, entonces ahora nos interesa probar que tambien es valido para $n+1$.
Entonces por demostrar que $\left< { a }_{ n +1}{ a }_{ i } \right> =0$
Desarrollando sera de ayuda: $$\left< { a }_{ n+1 },{ a }_{ i } \right> =\left< { b }_{ n+1 }-\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { \left< { b }_{ n+1 },{ { a } }_{ k } \right> }{ { \left\| { a }_{ k } \right\| }^{ 2 } } { a }_{ k } } ,{ a }_{ i } \right> =\left< { b }_{ n+1 },{ a }_{ i } \right> -\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { \left< { b }_{ n+1 },{ { a } }_{ k } \right> }{ { \left\| { a }_{ k } \right\| }^{ 2 } } \left< { a }_{ k },{ a }_{ i } \right> } $$
Aun de ahi podemos desarrollar mas la sumatoria para encontrar el elemento $i$ ya que $i<n$
$$\left< { b }_{ n+1 },{ a }_{ i } \right> -\frac { \left< { b }_{ n+1 },{ { a } }_{ 1 } \right> }{ { \left\| { a }_{ 1 } \right\| }^{ 2 } } \left< { a }_{ 1 },{ a }_{ i } \right> -...-\frac { \left< { b }_{ n+1 },{ { a } }_{ i } \right> }{ { \left\| { a }_{ i } \right\| }^{ 2 } } \left< { a }_{ i },{ a }_{ i } \right> -...-\frac { \left< { b }_{ n+1 },{ { a } }_{ n } \right> }{ { \left\| { a }_{ n } \right\| }^{ 2 } } \left< { a }_{ n },{ a }_{ i } \right>$$
De ahí notamos dos cosas importantes la primera es que $\frac { \left< { b }_{ n+1 },{ { a } }_{ i } \right> }{ { \left\| { a }_{ i } \right\| }^{ 2 } } \left< { a }_{ i },{ a }_{ i } \right> =\left< { b }_{ n+1 },{ a }_{ i } \right> $ y que sera el termino que se cancele con el primero y en segundo lugar es que para los demás elementos de la sumatoria se van a cancelar ya que la hipótesis de inducción supuso que $\left< { a }_{ n },{ a }_{ i } \right> =0$ Entoces tenemos que:
$$\left< { b }_{ n+1 },{ a }_{ i } \right> -\frac { \left< { b }_{ n+1 },{ { a } }_{ 1 } \right> }{ { \left\| { a }_{ 1 } \right\| }^{ 2 } } \left< { a }_{ 1 },{ a }_{ i } \right> { \nearrow }^{ 0 }-...-\frac { \left< { b }_{ n+1 },{ { a } }_{ i } \right> }{ { \left\| { a }_{ i } \right\| }^{ 2 } } \left< { a }_{ i },{ a }_{ i } \right> { \nearrow }^{ \left< { b }_{ n+1 },{ { a } }_{ i } \right> }-...-\frac { \left< { b }_{ n+1 },{ { a } }_{ n } \right> }{ { \left\| { a }_{ n } \right\| }^{ 2 } } \left< { a }_{ n },{ a }_{ i } \right> { \nearrow }^{ 0 }\\\left< { a }_{ n+1 },{ a }_{ i } \right> =\left< { b }_{ n+1 },{ a }_{ i } \right> -\left< { b }_{ n+1 },{ a }_{ i } \right> =0$$
Con eso queda demostrado que se vale para todo $n$
Para que se una base orto-normal solo bastaría con dividir entre su norma.
